Relaxation Method

공학과 자연과학에는 다양한 미분방정식이 등장한다. 뉴턴과 라이프니츠가 미적분을 고안한 이후로 인류는 변화율을 통하여 관심의 대상이 되는 것의 특성을 파악하려고 하였다. 수많은 천재들에 의해 간단한 미분방정식은 해결이 되었지만, 오늘날 공학과 자연과학은 매우 복잡한 미분방정식과 마주하게 되었다. 그래서 대다수의 문제는 사람의 손으로 해결할 수 있는 범주를 넘어가 버렸다.

 

그러나 컴퓨터의 발전에 힘입어서 해석적 접근 대신 수치적 접근으로 문제를 해결하는 시도가 이루어졌고 오늘날에는 활발하게 문제 해결에 활용이 되고 있다. 내 전공은 전자기학에 관한 지식이 비중이 크다. 전자기학에서 다루는 대표적인 수치해석 문제는 라플라스 또는 포아송 방정식이다.

 

공학과 자연과학에서 너무나 자주 등장하는 방정식이기에 연습용으로 다루기 좋은 것들이다. 전자기학의 대표적인 교과서인 Classical Dynamics by Jackson에서는 Chapter 1에서 variational principle로부터 포아송 방정식을 유도하고, functional의 최솟값이 되도록 하는 해 함수가 포아송 방정식의 해가 됨을 수치적으로 이용하는 것에 대해 소개한다.

 

최솟값을 찾는 기초적인 방법으로 Jacobian iteration method가 그 보다 조금 개선된 것으로 Gauss-Seidel iteration method가 존재한다. 이들 방법의 특징에 대해 찾아보고 정리를 해둔다면 상용 수치해석 툴이라던지 혹은 수치해석 코드를 작성할 때 유용할 것이다.